事故树的定性分析 （一）割集和最小割集 事故树顶事件发生与否是由构成事故树的各种基本事件的状态决定的。很显然，当所有基本事件都发生时，顶事件肯定生。然而,在大多数情况下, 并不是所有基本事件都发生时顶事件才发生，而只要某些基本事件发生就可导致顶事件发生。在事故树中，我们把引起顶事件发生的基本事件的集合称为割集，也称截集或截止集。一个事故树中的割集一般不止一个,在这些割集中，凡不包含其他割集的，叫做最小割集。换言之,如果割集中任意去掉一个基本事件后就不是割集, 那么这样的割集就是最小割集。所以，最小割集是引起顶事件发生的充分必要条件。
对简单的事故树，可以直接观察出它的最小割集。但是，对一般的事故树来说，就不易做到, 对于大型复杂的事故树来说，就更难了。这时，就需要借助于某些算法，并需要应用计算机进行计算。求最小割集的常用方法有布尔代数法、行列法、矩阵法等，如下以布尔代数法说明求最小割集的过程。
任何一个事故树都可以用布尔函数来描述。化简布尔函数, 其最简析取标准式中每个最小项所属变元构成的集合，便是最小割集。若最简析取标准式中含有m个最小项,则该事故树有m个最小割集。
根据布尔代数的性质,可把任何布尔函数化为析取和合取两种标准形式。
析取标准形式为:
合取标准形式为:
可以证明，Ai和Bi 分别是事故树的割集和径集。如果定义析取标准式的布尔项之和Ai 中各项之间不存在包含关系, 即其中任意一项基本事件布尔积不被其他基本事件布尔积所包含,则该析取标准式为最简析取标准式,那么Ai为结构函数f的最小割集。同理,可以直接利用最简合取标准式求取事故树的最小径集。
用布尔代数法计算最小割集,通常分三个步骤进行。
第一，建立事故树的布尔表达式。
第二，将布尔表达式化为析取标准式。
第三，化析取标准式为最简析取标准式。
化简最普通的方法是, 当求出割集后,对所有割集逐个进行比较,使之满足最简析取标准式的条件。但当割集的个数及割集中的基本事件个数较多时,这种方法不但费时,而且效率低。所以常用素数法或分离重复事件法进行化简。
1）素数法将每一个割集中的基本事件用一个素数表示, 该割集用所属基本事件对应的素数的乘积表示,则一个事故树若有 N 个割集, 就对应有N个数。把这N个数按数值从小到大排列 , 按以下顺序求最小割集:
①素数表示的割集是最小割集,与该素数成倍的数所表示的割集不是最小割集。
②在N个割集中去掉上面确定的最小割集和非最小割集后,再找素数乘积的最小数,该数表示的割集为最小割集,与该最小数成倍的数所表示的割集不是最小割集。
③重复上述步骤,直至在N个割集中找到N1 个最小割集 (N1≠0, N1≤N)个非最小割集 (0≤N2≤ N- N1), 且 Nl+N2=N 为止。
2）分离重复事件法基本根据是, 若某一事故树中无重复的基本事件,则求出的割集为最小割集。若树中有重复的基本事件,则不含重复基本事件的割集就是最小割集,仅对含有重复基本事件的割集化简即可。这里用N表示事故树的全部割集,N1表示含有重复基本事件的割集 ,N2表示不含重复基本事件的割集,N’ 表示全部最小割集。其步骤为:
① 求出N, 若事故树没有重复的基本事件,则 N'=N
② 检查全部割集, 将 N 分成 N1 和 N2 两组
③ 化简含有重复基本事件的割集N1为最小割集N1'
④ N'= N1' ∪ N2 。
最小割集在事故树分析中起着非常重要的作用, 归纳起来有三个方面:
（1）表示系统的危险性。最小割集的定义明确指出, 每一个最小割集都表示顶事件发生的一种可能,事故树中有几个最小割集, 顶事件发生就有几种可能。从这个意义上讲, 最小割集越多,说明系统的危险性越大。
（2）表示顶事件发生的原因组合。事故树顶事件发生，必然是某个最小割集中基本事件同时发生的结果。一旦发生事故，就可以方便地知道所有事故发生的途径，并可以逐步排除非本次事故的最小割集,而较快地查出本次事故的最小割集, 这就是导致本次事故的基本事件的组合。显而易见,掌握了最小割集, 对于掌握事故的发生规律、 调查事故发生的原因有很大的帮助。
（3）为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施。每个最小割集都代表了一种事故模式。由事故树的最小割集可以直观地判断哪种事故模式最危险, 哪种次之,哪种可以忽略, 以及如何采取措施使事故发生概率下降。
（二）径集与最小径集 在事故树中, 当所有基本事件都不发生时, 顶事件肯定不会发生。然而, 顶事件不发生常常并不要求所有基本事件都不发生, 而只要某些基本事件不发生顶事件就不会发生。这 些不发生的基本事件的集合称为径集, 也称通集或路集。在同一事故树中, 不包含其他径集的径集称为最小径集。如果径集中任意去掉一个基本事件后就不再是径集 , 那么该径集就是最小径集。所以,最小径集是保证顶事件不发生的充分必要条件。
求最小径集的方法一般采用对偶树法。根据对偶原理, 成功树顶事件发生, 就是其对偶树(事故树)顶事件不发生。因此, 求事故树最小径集的方法是, 首先将事故树变换成其对偶的成功树, 然后求出成功树的最小割集, 即是所求事故树的最小径集。
将事故树变为成功树的方法是, 将原事故树中的逻辑或门改成逻辑与门,将逻辑与门改成逻辑或门,并将全部事件变成事件补的形式, 这样便可得到与原事故树对偶的成功树。
最小径集在事故树分析中的作用与最小割集同样重要, 主要表现在以下两个方面:
（1）表示系统的安全性。最小径集表明, 一个最小径集中所包含的基本事件都不发生, 就可防止顶事件发生。可见, 每一个最小径集都是保证事故树顶事件不发生的条件,是采取预防措施,防止发生事故的一种途径。从这个意义上来说,最小径集表示了系统的安全性。
（2）选取确保系统安全的最佳方案。每一个最小径集都是防止顶事件发生的一个方案,可以根据最小径集中所包含的基本事件个数的多少、技术上的难易程度、耗费的时间以及投入的资金数量,来选择最经济、最有效地控制事故的方案。